Analisi Finalistica:
Avvio alla unificazione concettuale delle esistenti analisi delle strutture, ivi
compresi i versanti applicativi in genere degli ingegneri e teoretici in genere
dei matematici
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Approcci asintotici
Un approccio nel quale ogni teoria derivata su base assiomatica è contenuta come caso particolare e come primo passo in un processo di approssimazione crescente è "l'approccio asintotico" dovuto al Cicala, il quale lo ha creato con particolare riferimento alle analisi di gusci e travi. In realtà tale approccio, nei campi in cui può essere applicato, supera in un certo senso lo stesso schema dell’avanzamento della ricerca scientifica che ci si propone di applicare, in quanto genera, sia pure in ristretti campi, processi di individuazione di approssimazioni crescenti, senza la necessità di confrontare i risultati di ogni trattazione con rilievi sperimentali.
Gli approcci asintotici sono applicabili a tutti i problemi nei quali si cercano soluzioni approssimate in presenza di alcune tra le quantità che definiscono il problema che possono essere considerate piccole a fronte di altre (per esempio lo spessore di una struttura a guscio) e adottate come infinitesimi principali. Tali approcci, che possono essere adottati per ottenere teorie generali, sia in problemi di ingegneria, sia in problemi di fisica matematica, sono l’opposto degli approcci assiomatici, nei quali l’adozione di specifiche (spesso veramente geniali) assunzioni impone vincoli alla natura stessa delle soluzioni.
Il rigore e la profondità degli approcci asintotici consentono di ottenere le seguenti caratteristiche:
l’ordine di infinitesimo delle incognite (siano esse grandezze o funzioni) è valutato in anticipo rispetto alla soluzione
l’effetto della differenziazione è tenuto in conto nell’ordine di infinitesimo, con riferimento alla natura della funzione incognita e al suo comportamento asintotico
su tali basi si possono determinare gli ordini di infinitesimo di ogni termine nelle equazioni da risolvere
l’approccio asintotico è applicato anche alle condizioni al contorno, in particolare nel problema di determinare le costanti di integrazione, sia nel caso di equazioni omogenee, sia in quello di equazioni non omogenee.
Sugli approcci asintotici un grande contributo è dovuto al Cicala il quale ha proposto una teoria, nella quale gli approcci assiomatici appaiono come casi particolari, ma sono anche inquadrabili nelle loro limitazioni e nelle loro implicazioni.
I risultati ottenuti da de St.Venant, Timoshenko, Kirchhoff, Mindlin e altri sono sovrastati, da un punto di vista logico matematico, in una visione che si basa sui seguenti punti:
ogni problema è inserito in una famiglia, ottenuta facendo tendere a zero uno (o più) parametri,
pensando alle soluzioni e a ogni addendo delle equazioni, ivi compresi i contributi delle incognite, come a sviluppi in serie di funzioni, che costituiscano una base completa per tali sviluppi nello spazio delle coordinate, nel quale talune dimensioni sono piccole rispetto alle rimanenti, e considerando gli ordini di infinitesimo di ciascuna componente rispetto ai parametri fondamentali (è da notare che le equazioni tridimensionali del continuo diventano infinite in numero e con infiniti addendi in spazi bidimensionali o monodimensionali per i gusci e per le travi rispettivamente),
scomponendo il sistema di infinite equazioni in sistemi ridotti, aventi ciascuno un numero finito di equazioni, ciascuna con un numero finito di addendi fino a uno specifico ordine di infinitesimo e trascurando i rimanenti.
Per ciascuno di tali passi il Cicala ha creato procedure originali, nelle quali si riscontrano aspetti anche sorprendenti: la possibilità di valutare l’ordine di infinitesimo delle incognite prima di risolvere le equazioni, la semi convergenza delle serie ottenute nei processi di soluzione per successive approssimazioni e altre. L’approccio asintotico può essere utilmente usato in tutti quei problemi nei quali una formulazione analitica conserva il suo significato, quando un significativo parametro viene fatto tendere a zero. Se lo si paragona a un approccio assiomatico, nel quale le semplificazioni ottenibili dalla piccolezza di un parametro sono introdotte euristicamente sotto forma di assunzioni "a priori" si vedono i seguenti vantaggi:
il livello di approssimazione non è imposto da assiomi concernenti le soluzioni
si determina una sequenza di passi di approssimazione crescente, nei quali si possono riconoscere i risultati di approcci assiomatici quali passi intermedi.