Analisi Finalistica:
Avvio alla unificazione concettuale delle esistenti analisi delle strutture, ivi
compresi i versanti applicativi in genere degli ingegneri e teoretici in genere
dei matematici
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Stabilità delle strutture
La stabilità viene considerata come una proprietà di un equilibrio (o di un succedersi di equilibri), quindi di una traiettoria e di una evoluzione dinamica di una configurazione. E ovvio che nella definizione di traiettoria e di evoluzione di configurazione rientra la quiete mantenuta durante il tempo, cioè una condizione in cui l’equilibrio, di cui studiare la stabilità, si realizza tra forze non inerziali.
La stabilità è una proprietà del moto (o più in generale dell’evoluzione) dei sistemi. Questo implica che di un sistema si possa definire, quale funzione del parametro tempo, una configurazione (o stato), della quale sono elementi essenziali:
le “posizioni” dei suoi componenti;
le velocità degli stessi.
Il sistema in questione deve intendersi regolato dalle leggi della fisica e l’evoluzione in esame determinata da condizioni iniziali ed (eventualmente) azioni esterne funzioni note della configurazione e del tempo.
L’analisi della stabilità comporta anche l’introduzione di una misura della "distanza" fra due differenti configurazioni. In un quadro così fatto di stabilità si possono dare due diverse definizioni, stringenti in misura crescente, per le quali si fa qui riferimento al "Secondo metodo di Liapunoff o metodo diretto". Solitamente si fa esclusivo riferimento ai sistemi in “tempo continuo”, cioè retti da equazioni differenziali. Da un punto di vista fisico, l’evoluzione di un sistema è il soddisfacimento di condizioni di equilibrio, in un universo nel quale il "principio di equilibrio" può essere assunto come uno dei fondamenti nello studio dei comportamenti. La stabilità è, quindi, una proprietà da studiarsi per i "sistemi in equilibrio".
In molti casi i moti di cui si studia la stabilità si riducono alla quiete (o alla quiete relativa): a maggior ragione va ricordato che lo studio ha senso solo nel caso in cui la quiete sia una soluzione delle equazioni di equilibrio (con le necessarie condizioni iniziali e le eventuali azioni esterne). La stabilità è una proprietà che riguarda gli scostamenti fra una traiettoria e una sua perturbazione o, se si vuole, fra una traiettoria e quella che si ottiene a partire da condizioni iniziali di poco discoste, al tendere a zero di tale scostamento. Poichè lungo una traiettoria ogni condizione raggiunta è condizione iniziale per la parte rimanente della traiettoria stessa, lo scostamento può essere provocato in un istante qualsiasi ed il giudizio di stabilità riguarda ovviamente la parte rimanente di traiettoria. Le due traiettorie a confronto possono essere punteggiate con i tempi. La stabilità riguarda l’evolversi della distanza in spazio e velocità fra punti isocroni. Se tale distanza, al trascorrere del tempo, va riducendosi, si ha stabilità forte, se non aumenta si ha stabilità debole, se aumenta si ha instabilità. E’ chiaro che la stabilità si analizza in dinamica e quindi è una proprietà dinamica. Infatti, anche se una delle traiettorie fosse la quiete, l’altra, dovendo essere una perturbazione, può essere ottenuta solamente attraverso un’analisi dinamica. Si introduce tuttavia anche il concetto di "stabilità statica", che non riguarda una traiettoria nel suo complesso, ma i segni delle differenze nelle forze, differenze che si generano per effetto degli scostamenti introdotti a proposito di stabilità dinamica. La stabilità statica non assicura quella dinamica. Viceversa, affinchè si abbia stabilità dinamica è necessario (ma non sufficiente) si abbia quella statica. Nelle strutture in particolare, anche se le configurazioni in quiete di cui studiare la stabilità debbono essere determinate con analisi non lineari, la dinamica susseguente a perturbazioni della quiete viene esaminata limitandosi a piccolissimi spostamenti, si che risultano sufficienti analisi linearizzate a partire dalla configurazione di cui studiare la stabilità.