Analisi Finalistica:
Avvio alla unificazione concettuale delle esistenti analisi delle strutture, ivi
compresi i versanti applicativi in genere degli ingegneri e teoretici in genere
dei matematici
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Esistenza ed unicità delle soluzioni dei modelli matematici lineari delle strutture
L’esistenza e l’unicità delle soluzioni dei modelli matematici lineari delle strutture deriva dalla esistenza ed unicità di un nucleo simmetrico nella formulazione integrale di ciascun problema con modello matematico composto da equazioni differenziali lineari e condizioni al contorno lineari. L’esistenza di tale nucleo simmetrico nei problemi strutturali spesso è data per scontata. Risulta invece utile una discussione.
Se un modello matematico composto da equazioni differenziali lineari e condizioni al contorno lineari ammette una ed una sola soluzione, è possibile porre il problema in forma integrale, cioè sotto forma di un operatore che trasforma i termini noti nelle soluzioni. Questo problema è frequentemente trattato in letteratura, in particolare dai cultori del versante matematico. L’ellitticità e a maggior ragione la forte ellitticità delle equazioni differenziali e la regolarità al contorno sono sufficienti a dimostrare l’esistenza e l’unicità delle soluzioni in taluni problemi strutturali ma non in ogni problema strutturale. La regolarità al contorno implica una proprietà geometrica del contorno che è verificata dalla più parte dei contorni considerati, escludendo in pratica soltanto le cuspidi all’interno del corpo nei problemi tridimensionali.
In pratica si tratta dei problemi tipici della meccanica della frattura, nei quali ci si deve attendere che le soluzioni presentino punti singolari. In un fondamentale lavoro del Fichera si trova la dimostrazione della esistenza e della unicità delle soluzioni di classici modelli matematici ellittici riguardanti problemi strutturali statici, che è la forma assunta da ogni formulazione tridimensionale, in particolare per i corpi fissati in corrispondenza del loro contorno, liberi al contorno e per ogni condizione risultante dalla combinazione delle due precedenti. Perciò, ogni problema statico tridimensionale lineare risulta coperto da un teorema di esistenza e unicitΰ delle soluzioni. Il modello matematico che deriva dalla introduzione di assiomi aventi lo scopo di ridurre le dimensioni dello spazio di definizione, non è però coperto in generale da tale teorema e occorre considerare ogni problema separatamente. Ciò è fatto dallo stesso Fichera per il caso dell’equilibrio di piastre sottili di materiale omogeneo e costante, a spessore costante, appoggiate, incastrate o libere al contorno o con condizioni miste. La forte ellitticità, che implica l’ellitticità, delle equazioni differenziali è una proprietà intrinseca di ogni modello matematico riguardante un problema lineare strutturale conservativo. La regolarità al contorno è di norma verificata per ogni problema strutturale ben posto, eccezion fatta per i problemi di meccanica della frattura, come già osservato. Il Fichera dimostra per ogni problema retto da un modello matematico fortemente ellittico con regolarità al contorno e condizioni al contorno di Dirichlet l’esistenza di un sistema completo di autosoluzioni.
L’estensione dei teoremi di esistenza e unicità al caso di prodotti scalari includenti funzioni peso, che moltiplicano le incognite nei termini di ordine zero e con condizioni al contorno piω generali è dimostrata in una mia precedente memoria. Tale esistenza di un sistema completo di autosoluzioni è una indicazione della esistenza ed unicità delle soluzioni, quanto meno sotto forma di sviluppo in serie di autosoluzioni. Come considerazione finale, pensiamo ad un approccio discreto ad un modello matematico continuo. Usando metodi agli elementi finiti, che conducono a sistemi lineari di equazioni algebriche, se gli elementi finiti sono tali da tendere, al tender a zero delle loro dimensioni, al modello matematico originale, eccezion fatta per termini di più elevato ordine di infinitesimo, l’esistenza e l’unicità delle soluzioni del sistema algebrico implica al limite quella del modello matematico. Usando invece differenze finite, le equazioni algebriche lineari che si ottengono, quando le distanze nodali tendano a zero, tendono al modello matematico originale e l’esistenza e l’unicità delle soluzioni del sistema algebrico implicano al limite quelle del modello matematico. Come è già stato accennato molti modelli matematici derivano dalla formulazione tridimensionale nella quale introducendo assiomi sui comportamenti, in particolare delle soluzioni, si passa a formulazioni in spazi ad un minor numero di dimensioni. Una idea che merita approfondimento riguarda l’eventuale mantenimento dell’esistenza e unicitΰ delle soluzioni. a parità di altre ipotesi sui carichi esterni e sulle condizioni al contorno, nel passare con tali tecniche dai modelli tridimensionali a quelli semplificati.