Analisi Finalistica:
Avvio alla unificazione concettuale delle esistenti analisi delle strutture, ivi
compresi i versanti applicativi in genere degli ingegneri e teoretici in genere
dei matematici
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Evoluzione delle teorie strutturali
La moderna teoria delle strutture comincia con Galileo, che si occupa dei comportamenti di una trave incastrata con carico statico all’estremo libero, della quale si indaga lo stato interno di tensioni.
Studiosi di grande talento (Bernoulli, De St. Venant e altri) hanno poi sviluppato, non senza errori, con l’introduzione di assiomi, le analisi delle travi sotto carichi statici, ancora considerate l’argomento della teoria, introducendo le deformazioni quali grandezze da considerare. Studiosi dell’ottocento, in particolare italiani (Clapeyron, Menabrea, Castigliano), introdussero considerazioni sui lavori, tutte riconducibili ad applicazioni del principio dei lavori virtuali. Una prima estensione del campo di interesse è quella che porta ad occuparsi di strutture bidimensionali, attraverso assiomi analoghi a quelli usati per le travi.
Lo sviluppo della fisica matematica consentì di trattare, fra gli altri temi, la teoria tridimensionale delle strutture, sia dal punto di vista statico, sia da quello dinamico, ponendo in particolare l’accento su strutture di forma qualsiasi, con le relative condizioni al contorno. L’interesse prevalente riguardava i problemi lineari, per quanto attiene sia alla invarianza della forma del corpo per effetto dei carichi, sia alle relazioni fra spostamenti e deformazioni, sia infine alle relazioni fra deformazioni e sforzi. Il calcolo tensoriale, sviluppato quasi a prescindere da sue eventuali applicazioni, ma impiegato per indagini di grande importanza e innovatività in altri campi, come la relatività, sia particolare, sia generale, è quindi diventato uno strumento fondamentale per la teoria delle strutture, consentendo anche indagini in campo non lineare per quanto attiene alle deformazioni sotto sforzo e alle relazioni fra spostamenti e deformazioni. Per circa un secolo l’analisi strutturale si è sviluppata sulla base delle applicazioni via via necessarie e utilizzando gli approcci teorici e matematici resisi disponibili. In particolare i problemi strutturali più avanzati, quali i comportamenti coinvolgenti deformazioni plastiche, l’impatto di meteoriti con le strutture e le rotture in più punti a causa di carichi meccanici e termici, hanno richiesto grandi avanzamenti della analisi strutturale.
Per presentare un quadro, non esauriente ma almeno in grado di spiegare l’ampiezza e la profondità dell’analisi strutturale recente, occorre aggiungere a quelli citati alcuni argomenti e in particolare: approcci asintotici all’analisi di strutture bidimensionali e monodimensionali; analisi di piastre anisotrope multistrato.
Quelli sui quali sono stati dati contributi scientifici sono: sintesi per mezzo di metodi perturbativi fra problemi di autosoluzioni di vibrazioni e problemi di autosoluzioni in fenomeni di limiti di stabilità statica; problemi dovuti a non linearità geometriche in elasticità, e infine, dinamica dei sistemi elastici con ubicazione dei vincoli dipendente dal tempo, dove risulta determinante il riconoscere in ogni fenomeno dinamico nei mezzi continui la risultante di propagazioni di onde (nei sistemi unidimensionali questa proprietà si annida nelle formule di prostaferesi), onde delle quali si riesce a studiare le riflessioni sui predetti contorni. La rottura in più pezzi per effetto di carichi meccanici e termici è un problema derivante in particolare dalla attività spaziale, nel quale è necessario investigare ciò che accade quando un corpo - in particolare un veicolo spaziale - entra nell’atmosfera alle velocità tipiche di quelle missioni. In particolare è interessante determinare la distribuzione statistica dei pezzi in base alle loro masse e le dimensioni dell’area interessata al suolo.
Agli approcci asintotici, in particolare nella accezione del Cicala, va data grande importanza, in conseguenza del potenziale impulso sui futuri sviluppi dell’analisi scientifica e delle applicazioni pratiche. Nella ricerca di soluzioni approssimate tali approcci presentano il vantaggio di non imporre il livello di approssimazione e non abbisognano di assiomi concernenti le soluzioni, di determinare una sequenza di passi di approssimazione crescente nella quale ogni passo può essere considerato asintoticamente coerente, poichè comportamento interno e condizioni esterne vengono approssimate in un processo unitario. Metodi perturbativi che realizzano un legame fra autosoluzioni in problemi di vibrazioni e autosoluzioni in fenomeni ai limiti della stabilità statica sono suggeriti e consentiti dalle proprietà fondamentali dei sistemi di equazioni lineari fortemente ellittiche. Infatti essi possiedono autosoluzioni che dipendono principalmente dai termini di più alto ordine di derivazione e in una data struttura i problemi di vibrazioni e quelli di stabilità statica danno luogo a modelli matematici che differiscono solamente per termini di ordine di derivazione inferiori al massimo. La dinamica dei sistemi elastici con vincoli ad ubicazione dipendente dal tempo, da un punto di vista fisico, è più sofisticata di quella con condizioni al contorno ambigue, perchè vi interviene uno scambio energetico fra struttura e vincoli. Da un punto di vista generale il problema può essere affrontato ricordando la natura essenzialmente propagazionale (onde) di ogni fenomeno dinamico in un mezzo continuo. Attraverso lo studio della riflessione di ogni componente ondosa al contorno, quando questo abbia anche una ubicazione dipendente dal tempo, è possibile risolvere il problema nel caso di modelli matematici lineari.