Analisi Finalistica:
Avvio alla unificazione concettuale delle esistenti analisi delle strutture, ivi
compresi i versanti applicativi in genere degli ingegneri e teoretici in genere
dei matematici
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Non linearità geometriche
Il problema della elasticità, dove le non linearità derivano da effetti geometrici di combinazione fra deformazioni e sforzi, viene studiato attraverso un approccio tensoriale tridimensionale.
Gli effetti delle deformazioni vengono studiati per mezzo dei simboli di Cristoffel nel mezzo deformato in rapporto al mezzo elastico, in un approccio Lagrangiano al comportamento strutturale, nel quale gli spostamenti dovuti a carichi esterni sono assunti come incognite del problema. Ciò puo essere fatto esprimendo il tensore fondamentale del mezzo deformato per mezzo del tensore fondamentale del mezzo iniziale e del vettore spostamento, espresso nello spazio deformato.
Le non linearità nelle equazioni di equilibrio sono prese in considerazione completamente in un sistema di equazioni che possono essere semplificate a seconda delle necessità, fino a ridursi alle consuete equazioni linearizzate. L’interazione fra deformazioni e sforzi è particolarmente importante nelle strutture in cui sono presenti componenti con piccoli spessori e ampie estensioni.
Siano considerate senza far uso delle usuali approssimazioni della teoria "infinitesimale", le deformazioni di un mezzo elastico tridimensionale in uno spazio Euclideo dalla posizione iniziale "indeformata", riferita ad un riferimento curvilineo, alla posizione finale "deformata", descritta da un campo tensoriale e riferita ad un proprio riferimento curvilineo. Ai nostri fini è utile scegliere quale sistema di riferimento nel mezzo deformato il trasformato del sistema di riferimento nel mezzo indeformato, in modo che il punto trasformato abbia lo stesso valore di ogni coordinata del punto iniziale. Si realizza così un approccio Lagrangiano al problema.
Si possono quindi adottare come incognite del problema gli spostamenti dovuti ai carichi esterni. Ciò può essere fatto esprimendo il tensore fondamentale del mezzo deformato per mezzo del tensore fondamentale del mezzo iniziale e del vettore spostamento, espresso nello spazio deformato.